杨浦区 2019 学年度第一学期期末水平调查

初 三 数 学 试 卷 2019.12

（测试时间：100 分钟，满分：150 分）

1. 本试题含三个大题，共 25 题．答卷时，考生务必按答卷需要在答卷纸规定的地方上作答，在草稿纸、本试题上答卷一律无效．

2. 除1、二大题外，其余各题如无特不要说明，都需要在答卷纸的相应地方上写出证明或计算的主要步骤．

 

1、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）

1. 把抛物线 y = x 2 向左平移 1 个单位后得到的抛物线是

A． y =（x + 1）2 ； B． y =（x -1）2 ； C． y = x2  + 1； D． y = x2  -1.

2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，假如AC=2， cosplay A = 3 ，那样AB的长是

4

A． 5 ； B． 8 ； C． 10 ； D． 2 7 ．

2 3 3 3

r r r r r

3. 已知 a 、b 和 c 都是非零向量，下列结论中不可以断定 a // b 的是

r ur r r

r 1 r r r r r r r

A． a // c ，b // c ； B． a = 2 c ， b = 2c ； C． a = 2b ； D． a = b .

4. 如图，在 6×6 的正方形网格中，联结小正方形中两个顶点 A、B，假如线段 AB

 

与网格线的其中两个交点为 M、N，那样 AM∶MN∶NB 的值是

 

A．3∶5∶4； B．3∶6∶5；

 

C．1∶3∶2； D．1∶4∶2.

 

5. 广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上 水珠的高度 y（米）关于水珠和喷头的水平距离 x（米）的函数分析式是

y = - 3 x2 + 6x（0 £ x £ 4），那样水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是

2

第 4 题图

A．1 米； B．2 米； C．5 米； D．6 米．

 

6. 如图，在正方形 ABCD 中，△ABP 是等边三角形，AP、BP 的延长线分别交边 CD 于点 E、F，联结 AC、

 

CP，AC 与 BF 相交于点 H，下列结论中错误的是 A D

A．AE＝2DE； B．△CFP∽△APH；

F

C．△CFP∽△APC； D．CP2＝PH•PB． E

2、填空题：（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）

B C

7. 假如cota=

3 ，那样锐角a=________________________________________度．

第 6 题图

8. 假如抛物线 y = -x2 + 3x - 1+ m 经过原点，那样 m =________________________________________．

9. 二次函数 y = 2x2 + 5x - 1 的图像与 y 轴的交点坐标为______________________________．

10. 已知点 A（x ，y ）、 B（x ，y ）为抛物线 y =（x - 2）2  上的两点，假如 x  < x

< 2 ，那么______________________________．

1 1 2 2 1 2

（填“>”、“<”或“=”）

 

11. 在比率尺为 1：8 000 000 地图上测得甲、乙两地间的图上距离为 4 厘米，那样甲、乙两地间的实质距

 

离为______________________________千米．

 

12. 已知点 P 是线段 AB 上的一点，且 BP2  = AP × AB ，假如 AB=10cm，那样 BP=________________________________________cm．

13. 已知点 G 是△ABC 的重点，过点 G 作 MN∥BC 分别交边 AB、AC 于点 M、N，那样 SDAMN

SDABC

 

 

 

=________________________________________．

14. 如图，某小区门口的栏杆从水平地方 AB 绕固定点 O 旋转到地方 DC，已知栏杆 AB 的长为 3.5 米，OA

 

的长为 3 米，点 C 到 AB 的距离为 0.3 米，支柱 OE 的高为 0.6 米，那样栏杆端点 D 离地面的距离为____________________米． 15．如图，某商店营业大厅自动扶梯 AB 的坡角为 31°，AB 的长为 12 米，那样大厅两层之间 BC 的高度

为__________________________________________________米．（结果保留一位小数）【参考数据：sin31°＝0.515，cosplay31°＝0.867，tan31°＝0.601】

16. 如图，在四边形 ABCD 中，∠B=∠D=90°，AB=3，BC=2， tan A = 4 ，那样 CD= ▲ ．

3

D A

 

 

A O B

C

E

第 14 题图

 

 

A C

第 15 题图

D

 

B

第 16 题图

 

17. 概念：大家了解，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，假如这两个三角形相似但不全   等，大家就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线．在四边形 ABCD 中，对角线 BD 是它的相似对角线，∠ABC=70°，BD 平分∠ABC，那样∠ADC=____________________ 度．

18. 在 Rt△ABC 中，∠A=90°，AC=4，AB=a，将△ABC 沿着斜边 BC 翻折，点 A 落在点 A1 处，点 D、E 分别为边 AC、BC 的中点，联结 DE 并延长交 A1B 所在直线于点 F，联结 A1E，假如△A1EF 为直角三角形时，那样 a=__________ ．

3、解答卷：（本大题共 7 题，满分 78 分）

19．（本题满分 10 分，第（1）小题 6 分，第（2）小题 4 分）

 

抛物线 y＝ax2+bx+c 中，函数值 y 与自变量 x 之间的部分对应关系如下表：

 

x	…	-3	-2	-1	0	1	…
y	…	-4	-1	0	-1	-4	…

（1） 求该抛物线的表达式；

 

（2） 假如将该抛物线平移，使它的顶点移到点 M（2，4）的地方，那样其平移的办法是________________________________________.

20．（本题满分 10 分，第（1）小题 6 分，第（2）小题 4 分）

如图，已知在梯形 ABCD 中，AB//CD，AB=12，CD=7，点 E 在边 AD 上， DE = 2 ，过点 E 作 EF//AB

 

交边 BC 于点 F.

（1） 求线段 EF 的长；

AE 3

D C

uuur r

uuur r

r r uuur E F

（2） 设 AB = a ， AD = b ，联结 AF，请用向量 a 、b 表示向量 AF ．

 

 

 

 

21. （本题满分 10 分，第（1）小题 5 分，第（2）小题 5 分）

A B

第 20 题图

如图，已知在△ABC 中，∠ACB=90º， sin B = 3 ，延长边 BA 至点 D，使 AD=AC，联结 CD.

5

（1） 求∠D 的正切值；

（2） 取边 AC 的中点 E，联结 BE 并延长交边 CD 于点 F，求 CF 的值．

FD

 

 

 

 

 

22．（本题满分 10 分）

A 第 21 题图 B

某校初三数学兴趣小组的学生进行社会实践活动时，想借助所学的解直角三角形的常识测量教学楼的高度，他们先在点 D 处用测角仪测得楼顶 M 的仰角为30° ，再沿 DF 方向前行 40 米到达点 E 处，在点 E

处测得楼顶 M 的仰角为45°，已知测角仪的高 AD 为 1.5 米．请依据他们的测量数据求此楼 MF 的高．（结

M

果精确到 0.1m，参考数据： » 1.414 ， » 1.732 ， »

 

 

 

 

 

 

 

23．（本题满分 12 分，每小题各 6 分）

D E F

第 22 题图

如图，已知在△ABC 中， AD 是△ABC 的中线， ÐDAC = ÐB ，点 E 在边 AD 上， CE = CD .

（1） 求证： AC = BD ； A

AB AD

（2） 求证： AC 2 = 2 AE × AD .

 

 

 

第 3 页 共 8 页

B

D C

第 23 题图

 

 

 

 

 

24．（本题满分 12 分，每小题各 4 分）

已知在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y = mx2 - 2mx + 4 与 x 轴交于点 A、B（点 A 在点 B 的左边），且 AB=6．

（1） 求这条抛物线的对称轴及表达式；

（2） 在 y 轴上取点 E（0，2），点 F 为第一象限内抛物线上一点，联结 BF、EF，假如 S四边形OEFB =10 ，求点 F 的坐标；

（3） 在第（2）小题的条件下，点 F 在抛物线对称轴右边，点 P 在 x 轴上且在点 B 左边，假如直线 PF 与

y 轴的夹角等于∠EBF，求点 P 的坐标.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

第 24 题图

 

25．（本题满分 14 分，第（1）小题 3 分，第（2）小题 5 分，第（3）小题 6 分）

 

已知在菱形 ABCD 中，AB=4， ÐBAD = 120° ，点 P 是直线 AB 上任意一点，联结 PC，在∠PCD 内部作射线 CQ 与对角线 BD 交于点 Q（与 B、D 不重合），且∠PCQ= 30°．

（1） 如图，当点 P 在边 AB 上时，假如 BP = 3 ，求线段 PC 的长；

（2） 当点 P 在射线 BA 上时，设 BP=x，CQ=y，求 y 关于 x 的函数分析式及概念域；

 

（3） 联结 PQ，直线 PQ 与直线 BC 交于点 E，假如△QCE 与△BCP 相似，求线段 BP 的长．

 

 

A____________________D A____________________D

B C B C

第 25 题图 备用图

杨浦区 2019 学年度第一学期初中三年级数学期末水平调查考试答案

2019.12

1、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）

1．A； 2．B； 3．D； 4．C； 5．B； 6．C

 

2、填空题：（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）

7．30； 8．1； 9．（0，-1）； 10．>； 11．320； 12． 5

13． 4 ； 14．2.4； 15．6.2； 16． 6 ； 17．145； 18． 4

- 5 ；

、 4

9 5

3、解答卷：（本大题共 7 题，满分 78 分）

19．解：（1）∵二次函数 y = ax 2  + bx + c 图像过点（-1，0）、  和 ，

ìa - b + c = 0，

∴ ïc = -1， （3 分）

ïa + b + c = -4.

ìa = -1，

∴ ïb = -2，∴二次函数分析式为 y = -x2  - 2x -1 （3 分）

ïc = -1.

（2）平移的办法是先向右平移 3 个单位再向上平移 4 个单位

或先向上平移 4 个单位再向右平移 3 个单位 （4 分）

 

20. 解：（1）过 D 作 DH//BC 交 AB 于 H，交 EF 于 G.

∵DH//BC，AB//DC，∴四边形 DHBC 是平行四边形 （1 分）

∴BH=CD，∵CD=7，∴BH=7 （1 分）

同理 GF=7 （1 分）

又 AB=12，∴AH=5 （1 分）

∵EF//AB， ∴ EG = DE （1 分）

AH DA

∵ DE = 2 ，∴ DE = 2 .

AE 3 DA 5

∴ EG = 2 ， EG = 2 ，∴ EF = 9 （1 分）

5 5

（2） 3 ®+ 3 ® （4 分）

4 5

 

21. 解：（1）过 C 作 CH⊥AB 于 H．

 

在 Rt△ABC 中，∵ sin B= 3 ，∴ AC = 3 （1 分）

5 AB 5

∴设 AC=3k，AB=5k，则 BC=4k.

∵ S = 1 AC × BC = 1 AB × CH ，∴ CH = AC × BC = 12 k . （1 分）

DABC 2 2

AB 5

∴ AH = 9 k

5

.················································································· （1 分）

∵AD=AC，∴DH= 3k + 9 k = 24 k . （1 分）

5 5

 

在 Rt△CDH 中， tan ÐCDH = CH

DH

 

（2）过点 A 作 AH//CD 交 BE 于点 H.

12 k

= 5

24 k

5

= 1 （1 分）

2

∵AH//CD，∴ AH = AE （1 分）

CF EC

 

∵点 E 为边 AC 的中点，∴ AE = CE .∴ AH = CF （1 分）

∵AH//CD，∴ AH = AB （1 分）

DF BD

 

∵AB=5k，BD=3k，∴ AB = 5 .∴ AH = 5 （1 分）

BD 8 DF 8

∴ CF = 5 （1 分）

DF 8

 

22．解：由题意可知∠MCA=90°，∠MAC=30°，∠MBC=45°，AB=40，CF=1.5.

设 MC=x 米，则在 Rt△MBC 中，由 tan ÐMBC = MC 得 BC= x （2 分）

BC

又 Rt△ACM 中，由cot ÐMAC = AC 得 AC= 3x . （2 分）

MC

 

∴ 3x - x = 40 . （2 分）

 

∴x= 20

+ 20 . （1 分）

 

∴MF=MC+CF= 20   3+21.5 » 56.1米 （2 分）

答：此楼 MF 的高度是 56.1 米 （1 分）

 

23．证明：（1）∵CD=CE，∴∠CED=∠CDA. （1 分）

∴∠AEC=∠BDA. （1 分）

又∵∠DAC=∠B，∴△ACE∽△BAD （1 分）

∴ AC =

CE （1 分）

AB AD

∵ AD 是△ABC 的中线，∴ BD = CD （1 分）

∵CD=CE，∴ BD = CE .∴ AC = BD （1 分）

AB AD

（2）∵∠DAC=∠B，又∠ACD=∠BCA，∴△ACD∽△BCA （1 分）

∴ AC =

CD ，∴ AC2  = CD ×CB  （1 分）

BC AC

∵ AD 是△ABC 的中线，∴ BC =

2CD ，∴ AC2 =

2CD2 （1 分）

∵△ACE∽△BAD，∴ CE = AE （1 分）

AD BD

又∵CD=CE=BD，∴ CD2  = AD ×AE  （1 分）

∴ AC2  = 2 AD ×AE  （1 分）

24．解：（1）抛物线对称轴 x = - - 2m = 1 （1 分）

2m

∵AB=6，∴抛物线与 x 轴的交点 A 为 ，B  （1 分）

∴ 4m + 4m + 4 =

0 （或16m - 8m + 4 =

0 ） （1 分）

∴ m = - 1 .∴抛物线的表达式为 y = - 1 x2 +

x + 4 （1 分）

2

（2） 设点 F

（1 分）

∵点 E（0，- 2），点 B（4，0），∴OE= 2，OB= 4.

 

∵ S四边形OEFB

=SDOEF

+SDOBF

=10 ， ∴ 1 ´ 2 ´ x + 1 ´ 4 ´  = 10 （1 分）

2 2 2

∴ x = 1或2 ，∴点 F（1 9

、（2，4）  （2 分）

 

 

（3） ∵ S

，）

2

=S +S

 

=10 ，又 S

= 1 OB × OE = 1 ´ 4´ 2 = 4 ，∴ S

 

= 6 .

四边形OEFB

DOBE D BEF

DOBE 2 2

D BEF

过 F 作 FH ^ BE ，垂足为点 H.

∵ SD BEF

= 1 BE × FH = 6 ，又 BE =

2

= 2 ，∴ FH = 6   5 （1 分）

5

又 BF =

= 2 ，∴ BH = 8 5 .

5

6 5

∴在 RtDBFH 中，tan∠EBF= FH = 5

= 3 （1 分）

BH 8   5 4

5

设直线 PF 与 y 轴的交点为 M，则∠PMO=∠EBF，过 F 作 FG ^ x轴，垂足为点 G.

∵FG//y 轴，∴∠PMO=∠PFG. ∴tan∠PFG=tan∠EBF （1 分）

∴tan∠PFG= PG = 3 .

FG 4

又 FG=4，∴PG=3.

∴点 P 的坐标（-1，0）  （1 分）

 

25．解：（1）过 P 作 PH ^ BC ，垂足为点 H.

在 RtDBPH 中，∵BP=3，∠ABC=60°，∴ BH = 3，PH = 3   3 （2 分）

2 2

 

在 RtDPCH 中， CH = 4 - 3 = 5 ，PC =

2 2

（2）过 P 作 PH ^ BC ，垂足为点 H.

= （1 分）

在 RtDBPH 中， BH = 1 x，PH = 3 x .

2 2

 

∴在 RtDPCH 中， CH = 4 - 1 x，PC =

2

设 PC 与对角线 BD 交于点 G.

∵AB//CD，∴ BP = PG = BG = x .

 

= （1 分）

 

∴ BG =

 

x + 4

CD GC GD 4

，CG =

x + 4

 

.····················································· （1 分）

∵∠ABD=∠PCQ，又∠PGC=∠QGC，∴△PBG∽△QCG.

 

 

∴ PB = BG ，∴ x =

4  3x

x + 4

 

.····················································· （1 分）

CQ CG

y 4 x2 - 4x + 16

x + 4

 

 

∴ y = （ 0 £ x < 8 ） （2 分）

3

 

（3）i）当点 P  在射线 BA  上，点 E 在边 BC 的延长线时.

∵BD 是菱形 ABCD 的对角线，∴∠PBQ=∠QBC= 1 ÐABC = 30° .

2

∵△PBG∽△QCG，∴ PG = BG ，又∠PGQ=∠BGC，∴△PGQ∽△BGC.

QG CG

∴∠QPG=∠QBC = 30° ， 又∠PBQ=∠PCQ = 30° ，∴ ÐCQE = ÐQPC + ÐQCP = 60° .

∴ ÐCQE = ÐPBC = 60° （1 分）

∵ ÐPCB > ÐE ，∴ ÐPCB = ÐQCE .

又ÐPCB + ÐQCE + ÐPCQ = 180° ，∠PCQ = 30° ，∴ ÐPCB = ÐQCE = 75° .

 

过 C 作CN ^ BP ，垂足为点 N，∴在 RtDCBN 中， BN = 2，CN = 2 .

 

∴在 RtDPCN 中， PN = CN = 2 3 .

 

∴ BP = 2 + 2 （2 分）

 

ii）当点 P 在边 AB 的延长线上，点 E 在边 BC 上时，同理可得 BP = 2 - 2 （3 分）